Statistik für Anfänger

Warum Statistik?

• Statistisches Denken wird eines Tages für mündige Staatsbürger ebenso wichtig sein wie die Fähigkeit zu lesen und zu schreiben (H.G. Wells)
• Statistik ist für mich das Informationsmittel der Mündigen. Wer mit ihr umgehen kann, ist weniger leicht zu manipulieren. Der Satz „Mit Statistik kann man alles beweisen“ gilt nur für die Bequemen, die keine Lust haben, genau hinzusehen. (E. Nölle-Neumann)

• Statistik ist die Methode, um vernüftige Entscheidungen bei unzureichenden Daten zu treffen.

Arten der Statistik

Es gibt die Deskriptive Statistik (übersichtliche Darstellung von Daten) und die Induktive Statistik (Schlüsse von Experimenten und Teilerhebungen auf allgemeine Phänomene).

Beispiel: Gewitterkerzen. Überliefert ist folgende Geschichte: ... Wie kann man nun die Großmutter von ihrem Irrtum überzeugen?

Jetzt würde man statistische Mittel anwenden: tausend Häuser, davon 500 mit, und 500 ohne Gewitterkerze. Aber wird schwierig, nicht wahr?

Beispiele für Statistik in unserem täglichen Leben (und darum ist ja die Statistik so wichtig

• Bleibe ich an dieser Schule?
• Um einen betrügerischen Würfel zu entlarven
• Wenn wir wissen möchten, ob eine neue Therapie besser als die alte ist
• Wenn wir den Nutzen von "Gewitterkerzen" bestimmen wollen
• Meinungsforschung
• Wirtschaftsprognosen

Methoden der Statistik sind ein wichtiges Hilfsmittel zum Erkenntnisgewinn. (Oftmals die einzigen.)

Der Wahrscheinlichkeitsbegriff

Von Laplace(1749-1822):
Zahl der günstigen FälleZahl aller (gleich) möglichen Fälle. Beispiel:

• P („Es wird eine 6 gewürfelt“) = 1/6
• P (Es wir eine gerade Zahl gewürfelt) = 3/6

Problem: P („Morgen scheint die Sonne“)

Drei Möglichkeiten := {Sonne, Regen, bewölkt}

P (Sonne) = 1/3 ????

Ereignisse müssen also (gleich) möglich = gleich wahrscheinlich sein.

Generell gilt:

• O <= P(A) <= 1,
• P(B) = 1; B ist das "sichere" Ereignis,
• P(^C) = 1 - P(C)

Subjektivistischer Wahrscheinlichkeitsbegriff

Namen: Laplace, Ramsey, de Finetti:

„Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist der Grad der Überzeugung, mit der ein Beobachter aufgrund eines bestimmten Informationsstandes an das Eintreten eines Ereignisses glaubt“

Beispiele:

• Münzwurf: Einsatz auf Zahl bis zu 0.5 € sinnvoll
• Würfel: Einsatz bis zu 1/3 €auf „5 oder 6“

Allgemein:

• P(A) ist der Wetteinsatz (€), die eine Person höchstens einzugehen bereit ist, falls er bei Eintreten von A 1 € gewinnt.

Wichtige statistische Begriffe

• Arithmetischer Mittelwert
• Median
  • Der Mittelwert einer Stichprobe ist nicht geeignet, wenn die Probe starke Ausreißer besitzt.
  • Beispiel: Die Klasse samt Klassenleiter erhalten folgende Gehälter (in Euro):

0; 1200; 0; 10; 10; 10; 6

• • Die Aussage, daß die Mitglieder der Klasse durchschnittlich ... EUR verdienen, ist zwar richtig, aber verfälscht die ursprüngliche Information!

Wichtige Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten

• Gegenereignis: P(AC) = 1 – P(A)

Wir können Wahrscheinlichkeiten nur dann multiplizieren, wenn die Ereignisse sich gegenseitig ausschließen. Mit anderen Worten: Man die beobachteten Ereignisse mit _und_ verknüpfen kann. Keinesfalls mit "oder"!

• Also: P(6 UND 6) = 1/6 * 1/6
• Aber: P (5 od. 6 und 5 od.6) =! 2/6 * 2/6
  • Aber möglich: Umformulieren, daß ein "UND" drinne steht.
  • Hier: P(1/2/3/4 UND 1/2/3/4) = 4/6 * 4/6 = 16/36 = 4/9
• Additionssatz : P(A ∪ B) = P(A)+P(B) - P(A∩B)

Beispiele

Gegeben seien 5 bekannte Karten in beliebiger Reihenfolge. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß man die Reihenfolge richtig rät? Wie oft muß man raten, um die richtige Reihenfolge mit 50% Sicherheit erraten zu haben?

Antwort: Für die 1. Karte gibt es 5 Möglichkeiten, für die 2. Karte bleiben 4, für den 3. Platz 3 usw. Somit erhält man: 5*5*3*2*1 = 120 Möglichkeiten. Man müßte mindestens 60 Mal raten, um die richtige Kartenreihenfolge mit 50%iger Sicherheit zu raten.

Die verschiedene Anordnung von Sachen nennt man: Permutationen.

Praktische Übungen

• Münzwurfraten für alle
• Bedingt Wahrscheinlichkeit: Zwei Kinder. Ich weiß das ein Kind ein Junge ist. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß das andere ein Mädchen ist?
• Der brave Drogenhud Bello bellt bei 99% aller Drogenschmuggler. Leider kläfft er auch bei 2% der harmlosen Passanten. Am Grenzübergang kommen auf 999 harmlose Passanten 1 Drogenschmuggler. Eine Person kommt vorbei und Bello bellt: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß die Person Drogen schmuggelt?
  • Antwort P(Schmuggler|Bellen)= P(B|S) * P(S)/P(B) = 4,7%

• Bespiel: Vorhersage Münzwurf vs. Elektronisches Gerät.

"Klassische" Statistik

• Nullhypothese