Statistik für Anfänger

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Arten der Statistik

Es gibt die Deskriptive Statistik (übersichtliche Darstellung von Daten) und die Induktive Statistik (Schlüsse von Experimenten und Teilerhebungen auf allgemeine Phänomene).

Beispiel: Gewitterkerzen. Überliefert ist folgende Geschichte: ... Wie kann man nun die Großmutter von ihrem Irrtum überzeugen?

Jetzt würde man statistische Mittel anwenden: tausend Häuser, davon 500 mit, und 500 ohne Gewitterkerze. Aber wird schwierig, nicht wahr?

Beispiele für Statistik in unserem täglichen Leben (und darum ist ja die Statistik so wichtig

• Bleibe ich an dieser Schule?
• Um einen betrügerischen Würfel zu entlarven
• Wenn wir wissen möchten, ob eine neue Therapie besser als die alte ist
• Wenn wir den Nutzen von "Gewitterkerzen" bestimmen wollen
• Meinungsforschung
• Wirtschaftsprognosen

Methoden der Statistik sind ein wichtiges Hilfsmittel zum Erkenntnisgewinn. (Oftmals die einzigen.)

Der Wahrscheinlichkeitsbegriff

Von Laplace(1749-1822):
Zahl der günstigen FälleZahl aller (gleich) möglichen Fälle. Beispiel:

• P („Es wird eine 6 gewürfelt“) = 1/6
• P (Es wir eine gerade Zahl gewürfelt) = 3/6

Problem: P („Morgen scheint die Sonne“)

Drei Möglichkeiten := {Sonne, Regen, bewölkt}

P (Sonne) = 1/3 ????

Ereignisse müssen also (gleich) möglich = gleich wahrscheinlich sein.

Generell gilt:

• O <= P(A) <= 1,
• P(B) = 1; B ist das "sichere" Ereignis,
• P(^C) = 1 - P(C)

Subjektivistischer Wahrscheinlichkeitsbegriff

Namen: Laplace, Ramsey, de Finetti:

„Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist der Grad der Überzeugung, mit der ein Beobachter aufgrund eines bestimmten Informationsstandes an das Eintreten eines Ereignisses glaubt“

Beispiele:

• Münzwurf: Einsatz auf Zahl bis zu 0.5 € sinnvoll
• Würfel: Einsatz bis zu 1/3 €auf „5 oder 6“

Allgemein:

• P(A) ist der Wetteinsatz (€), die eine Person höchstens einzugehen bereit ist, falls er bei Eintreten von A 1 € gewinnt.

Wichtige statistische Begriffe

• Arithmetischer Mittelwert
• Median
  • Der Mittelwert einer Stichprobe ist nicht geeignet, wenn die Probe starke Ausreißer besitzt.
  • Beispiel: Die Klasse samt Klassenleiter erhalten folgende Gehälter (in Euro):

0; 1200; 0; 10; 10; 10; 6

• • Die Aussage, daß die Mitglieder der Klasse durchschnittlich ... EUR verdienen, ist zwar richtig, aber verfälscht die ursprüngliche Information!

Wichtige Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten

• Gegenereignis: P(AC) = 1 – P(A)

Wir können Wahrscheinlichkeiten nur dann multiplizieren, wenn die Ereignisse sich gegenseitig ausschließen. Mit anderen Worten: Man die beobachteten Ereignisse mit _und_ verknüpfen kann. Keinesfalls mit "oder"!

• Also: P(6 UND 6) = 1/6 * 1/6
• Aber: P (5 od. 6 und 5 od.6) =! 2/6 * 2/6
  • Aber möglich: Umformulieren, daß ein "UND" drinne steht.
  • Hier: P(1/2/3/4 UND 1/2/3/4) = 4/6 * 4/6 = 16/36 = 4/9
• Additionssatz : P(A ∪ B) = P(A)+P(B) - P(A∩B)

Beispiele

Gegeben seien 5 bekannte Karten in beliebiger Reihenfolge. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß man die Reihenfolge richtig rät? Wie oft muß man raten, um die richtige Reihenfolge mit 50% Sicherheit erraten zu haben?

Antwort: Für die 1. Karte gibt es 5 Möglichkeiten, für die 2. Karte bleiben 4, für den 3. Platz 3 usw. Somit erhält man: 5*5*3*2*1 = 120 Möglichkeiten. Man müßte mindestens 60 Mal raten, um die richtige Kartenreihenfolge mit 50%iger Sicherheit zu raten.

Die verschiedene Anordnung von Sachen nennt man: Permutationen.

Praktische Übungen

• Münzwurfraten für alle
• Bedingt Wahrscheinlichkeit: Zwei Kinder. Ich weiß das ein Kind ein Junge ist. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß das andere ein Mädchen ist?
• Der brave Drogenhud Bello bellt bei 99% aller Drogenschmuggler. Leider kläfft er auch bei 2% der harmlosen Passanten. Am Grenzübergang kommen auf 999 harmlose Passanten 1 Drogenschmuggler. Eine Person kommt vorbei und Bello bellt: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß die Person Drogen schmuggelt?
  • Antwort P(Schmuggler|Bellen)= P(B|S) * P(S)/P(B) = 4,7%

• Bespiel: Vorhersage Münzwurf vs. Elektronisches Gerät.

"Klassische" Statistik

• Nullhypothese